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偶函數(shù)除以偶函數(shù)是偶函數(shù),奇函數(shù)除以奇函數(shù)是偶函數(shù),奇函數(shù)除以偶函數(shù)是奇函數(shù),偶函數(shù)除以奇函數(shù)是奇函數(shù)。一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意的一個x,都有f(x)=f(-x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。偶函數(shù)的定義域必須關于y軸對稱,否則不能成為偶函數(shù)。
(一)結論:
偶函數(shù)除以偶函數(shù)是偶函數(shù),奇函數(shù)除以奇函數(shù)是偶函數(shù),
奇函數(shù)除以偶函數(shù)是奇函數(shù),偶函數(shù)除以奇函數(shù)是奇函數(shù)。
(二)推廣:
偶函數(shù)乘以偶函數(shù)是偶函數(shù),奇函數(shù)乘以奇函數(shù)是偶函數(shù),
奇函數(shù)乘以偶函數(shù)是奇函數(shù),偶函數(shù)乘以奇函數(shù)是奇函數(shù)。
(三)證明:
設f(x)和f1(x)都是奇函數(shù),g(x)和g1(x)都是偶函數(shù)
則f(-x)=-f(x),f1(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),g1(-x)=g1(x)
令F(x)=f(x)÷g(x)
則F(-x)=f(-x)÷g(-x)=-f(x)÷g(x)=-F(x)
∴F(x)是奇函數(shù)
即奇函數(shù)除以偶函數(shù)是奇函數(shù)
其余命題,同法可證。
奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì),是研究函數(shù)對稱性的手段之一。奇偶性可從函數(shù)圖像和解析式兩個角度判斷。函數(shù)圖像關于原點對稱的叫做奇函數(shù);函數(shù)圖像關于y軸對稱的叫做偶函數(shù)。從解析式的角度判斷,對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意x,必須使f(x)與f(-x)都有意義,也就是說,具有奇偶性的函數(shù),它的定義域必須關于原點對稱。在這個前提下:①如果f(x)與f(-x)相反,則稱f(x)為奇函數(shù);②如果f(x)與f(-x)相等,則稱f(x)為偶函數(shù)。
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