積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個(gè)公式。其中，積分第二中值定理還包含三個(gè)常用的推論。積分中值定理揭示了一種將積分化為函數(shù)值，或者是將復(fù)雜函數(shù)的積分化為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分的方法，是數(shù)學(xué)分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質(zhì)點(diǎn)、估計(jì)積分值等方面應(yīng)用廣泛。

定理的應(yīng)用

積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號(hào)去掉，或者使復(fù)雜的被積函數(shù)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的被積函數(shù)，從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。因此，對(duì)于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個(gè)函數(shù)積分的等式或不等式，或者要證的結(jié)論中含有定積分，或者所求的極限式中含有定積分時(shí)，一般應(yīng)考慮使用積分中值定理，去掉積分號(hào)，或者化簡(jiǎn)被積函數(shù)。

求極限

在函數(shù)極限的計(jì)算中,如果含有定積分式,常常可以運(yùn)用定積分的相關(guān)知識(shí),比如積分中值定理等,把積分號(hào)去掉。

不等式證明

積分不等式是指不等式中含有兩個(gè)以上積分的不等式,當(dāng)積分區(qū)間相同時(shí),先合并同一積分區(qū)間上的不同積分,根據(jù)被積函數(shù)所滿(mǎn)足的條件,靈靈活運(yùn)用積分中值定理,以達(dá)到證明不等式成立的目的。

在證明定積分不等式時(shí),常常考慮運(yùn)用積分中值定理,以便去掉積分符號(hào),如果被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)之積時(shí),可考慮用積分第一或者第二中值定理。對(duì)于某些不等式的證明,運(yùn)用原積分中值定理只能得到“≥”的結(jié)論,或者不等式根本不能得到證明。而運(yùn)用改進(jìn)了的積分中值定理之后,則可以得到“>”的結(jié)論,或者成功的解決問(wèn)題。